블랙-숄즈 모형과 옵션 확장이론

TL;DR

블랙-숄즈 방정식은 이항격자와 같은 복제 논리를 연속시간으로 옮긴 것이며, 배당 없는 유럽식 콜에는 \(C=SN(d_1)-Ke^{-r(T-t)}N(d_2)\)라는 닫힌 공식이 존재한다. 델타·감마·세타·베가(그릭스)는 옵션가치의 민감도를 알려주고, 델타를 이용한 동적 리밸런싱(델타헤지)으로 옵션을 기초자산과 무위험자산으로 복제할 수 있다. 시장가에서 거꾸로 구한 내재변동성, 배당(보유비용) 확장, 미국식 옵션의 조기행사 문제까지 함께 다룬다.

핵심 용어 미니 사전

블랙-숄즈 공식 (Black-Scholes formula): 배당이 없는 유럽식 콜옵션의 가격을 닫힌 형태로 주는 공식. \(C(S,t)=SN(d_1)-Ke^{-r(T-t)}N(d_2)\).
델타 (Delta, \(\Delta\)): 기초자산 가격에 대한 옵션가치의 민감도(\(=\partial f/\partial S\)). 콜옵션의 헤지 비율이며, 콜의 경우 \(\Delta=N(d_1)\)이다.
내재변동성 (Implied Volatility): 시장에서 관측된 옵션 가격을 블랙-숄즈 공식에 대입해 거꾸로 역산한 변동성 \(\sigma\) 값.
델타헤지 (Delta Hedging): 델타 비율만큼 기초자산을 보유해 옵션 포지션의 가격위험을 상쇄하는 기법. 델타가 계속 변하므로 주기적 리밸런싱(동적 헤지)이 필요하다.

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